Nombre premier

Age : 32 Localisation : Rabat Messages : 1890 Date d'inscription : 08/12/2008

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif. Par opposition, un nombre non nul produit de deux nombres entiers différents de 1 est dit composé. Par exemple 12 = 2×6 est composé, tout comme 21 = 3×7 ou 7×3, mais 11 est premier car 1 et 11 sont les seuls diviseurs de 11. Les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Les nombres premiers inférieurs à 100 sont :

2-3-5-7-11-13-17-23-29-31-37
-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79
-83-89 et 97
De telles listes peuvent être obtenues grâce à diverses méthodes de calcul. Il existe une infinité de nombres premiers. En 2008, le plus grand nombre premier connu est 2^{43 112 609}-1, qui comporte près de 13 millions de chiffres en écriture décimale^[1].
La notion de nombre premier est une notion de base en arithmétique élémentaire : le théorème fondamental de l'arithmétique assure qu'un nombre composé est factorisable en un produit de nombres premiers, et cette factorisation est unique à l'ordre des facteurs près. Elle admet des généralisations importantes dans des branches des mathématiques plus avancées, comme la théorie algébrique des nombres, qui prennent ainsi à leur tour l'appellation d'arithmétique. Par ailleurs, de nombreuses applications industrielles de l'arithmétique reposent sur la connaissance algorithmique des nombres premiers, et parfois plus précisément sur la difficulté des problèmes algorithmiques qui leur sont liés ; par exemple certains systèmes cryptographiques et des méthodes de transmission de l'information. Les nombres premiers sont aussi utilisés pour construire des tables de hachage et pour constituer des générateurs de nombres pseudo-aléatoires

Age : 32 Localisation : Rabat Messages : 1890 Date d'inscription : 08/12/2008

Les entailles retrouvées sur l’os d'Ishango daté à plus de 20 000 ans avant notre ère, mis au jour par l'archéologue Jean de Heinzelin de Braucourt^[2] et antérieur à l'apparition de l'écriture (antérieur à 3 200 ans avant J.-C.), semblent isoler quatre nombres premiers 11, 13, 17 et 19. Certains archéologues l'interprètent comme la preuve de la connaissance des nombres premiers. Toutefois, il existe trop peu de découvertes permettant de cerner les connaissances réelles de cette période ancienne^[3].

L'os d'Ishango
Des tablettes d'argile séchées attribuées aux civilisations qui se sont succédé en Mésopotamie durant le II^emillénaire av. J.-C. montrent la résolution de problèmes arithmétiques et attestent des premières connaissances de l'époque. Les calculs nécessitaient de connaître des tables d'inverses d'entiers (les réciproques) dont certaines ont été retrouvées. Dans le système sexagésimal utilisé par la civilisation babylonienne pour écrire les entiers, les réciproques des diviseurs des puissances de 60 (nombres réguliers) se calculent facilement : par exemple, diviser par 24, c'est multiplier par $Nombre premier 1cadae87adb9d16050b60979342523c6$ et décaler de deux places le rang. Leur connaissance nécessitait une bonne compréhension de la multiplication, de la division et de la factorisation d'entiers.
Dans les mathématiques égyptiennes, le calcul fractionnaire demandait des connaissances sur les opérations, les divisions d’entiers et les factorisations. Les Égyptiens ne notaient que les inverses d’entiers (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...) ; l’écriture des fractions se faisait en additionnant des inverses d'entiers, si possible sans répétition (1/2+1/6 au lieu de 1/3+1/3). Disposer d’une liste des premiers nombres premiers devait être nécessaire.
La première trace incontestable de la présentation des nombres premiers remonte à l'Antiquité (vers -300 av. J.-C.), et se trouve dans les Éléments d’Euclide (tomes VII à IX). Euclide donne la définition des nombres premiers, la preuve de leur infinité, la définition du plus grand commun diviseur (pgcd) et du plus petit commun multiple (ppcm), et les algorithmes pour les déterminer, aujourd’hui appelés algorithmes d’Euclide. Les connaissances présentées lui sont toutefois bien antérieures.

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Marin Mersenne.

Les nombres premiers de la forme :

M_p = 2^p − 1
où p est lui-même un nombre premier, sont appelés nombres premiers de Mersenne. Les grands nombres premiers sont souvent recherchés sous cette forme car il existe un test efficace, le test de primalité de Lucas-Lehmer, pour déterminer si un tel nombre est premier ou non.
En 2008, le plus grand nombre premier connu est M_{43 112 609}=2^{43 112 609}-1, qui comporte 12 978 189 chiffres en écriture décimale. Il s'agit (chronologiquement) du 45^e nombre premier de Mersenne connu et sa découverte a été annoncée le 23 août 2008 grâce aux efforts du projet collaboratif de calcul distribué « Great Internet Mersenne Prime Search ». Le 46^e nombre premier de Mersenne, 2^{37 156 667}-1, qui est inférieur au précédent a été découvert deux semaines plus tard.
L'Electronic Frontier Foundation offre un prix de calcul coopératif^[6] d'un montant de 100 000 USD pour la découverte d'un nombre premier d'au moins 10 millions de chiffres décimaux, afin d'encourager les internautes à contribuer à la résolution de problèmes scientifiques par le calcul distribué.

Age : 32 Localisation : Rabat Messages : 1890 Date d'inscription : 08/12/2008

Deux nombres premiers sont dits jumeaux s'ils ne différent que de deux. Hormis pour la paire (2, 3), cette distance de deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.
Au 15 janvier 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 2003663613 × 2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1, qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts par Éric Vautier dans le cadre des projets de calcul distribué Twin Prime Search et PrimeGrid^[7].
Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux

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Pierre de Fermat.
Les nombres premiers de la forme :

$Nombre premier Bb13bdcaf7871189b703bdc1a5faf041$
sont appelés les nombres premiers de Fermat. Pierre de Fermat avait conjecturé que tous ces nombres devaient être premiers. Cependant, les seuls nombres de Fermat premiers connus sont :

$Nombre premier 9be88e16ac41cbcf8e1b4807bfa4f98a$
$Nombre premier D0f4aa8adcadb71d7d207294486e306c$
$Nombre premier A68c88de1f230eeee0f2cee5ab9d6131$
$Nombre premier 4e56a23d04d79cc263b3793e9004010a$
$Nombre premier 60a7480518e01611c0659fb897140453$
$Nombre premier 19b76ec3e7015ecf9ae6d0c3fd80a2e9$

Le nombre de Fermat F₅ n’est pas premier : il est divisible par 641.
$Nombre premier E3f3ccd50c71b7857bcad39dbcebe3f7$
Il s'agit du premier contre-exemple à cette conjecture de Fermat, découvert par Euler en 1732

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Plus d'information
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier

Age : 32 Localisation : Rabat Messages : 305 Date d'inscription : 03/12/2008

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