Pythagore Démonstration du théorème

Age : 32 Localisation : Rabat Messages : 1890 Date d'inscription : 08/12/2008

Pythagore
Démonstration du théorème

Construction de la figure géométrique
qui va servir à la démonstration

Prenons un rectangle de largeur a et de
hauteur b. Ce rectangle que nous faisons pivoter de 90 o de la façon
suivante :

Pythagore Démonstration du théorème Pythagore_1

Pythagore Démonstration du théorème Pythagore_1

Pour chacun des rectangles, divisons les en deux de la façon suivante :				Faisons pivoter de 90 o les triangles rectangles jaune et violet de la façon suivante :

Nous nous retrouvons donc avec quatre triangles rectangles.				Nous constatons que l'on se retrouve avec un carré à l'intérieur d'un autre.

Démonstration

Notation

Reprenons notre dernier schéma pour
désigner chacun des cotés par les lettres suivantes :

Pythagore Démonstration du théorème Pythagore_carre

Pythagore Démonstration du théorème Pythagore_carre

On a quatre triangles rectangles
dont :
le coté opposé par a,
la base est désignée par b,
et
l'hypoténuse par n.

Chaque hypoténuse n représentent donc
les cotés du petit carré.

Le coté opposé plus la base (a + b) de
chaque triangle rectangle représentent chacun des cotés du grand
carré.

Surface des carrés

Petit carré : n 2.

Grand carré : (a + b)
2.

Surface des triangles
rectangles

Si l'on associe deux triangles
rectangles, on se retrouve avec un rectangle de surface : a b.

La surface totale des quatre triangles
rectangles est donc : 2ab.

Différence de surface

La surface du petit carré est égale à
la surface du grand carré moins la surface des quatre triangles
rectangles :

n 2 = (a + b) 2 -
2ab

d'où

n 2 = a 2 + 2ab + b 2
- 2ab

ce qui donne

n 2 = a 2 + b 2

CQFD

Conclusion, le carré de l'hypoténuse
est égal à la somme des carrés des cotés de l'angle droit