la règle de L'Hôpital (également appelée règle de l'Hospital ou
règle de Bernoulli) utilise la
dérivée dans le but de déterminer les limites
Principe Soit
, tel que les fonctions réelles
f et
g soient définies sur un voisinage de
a,
g ne s'y annulant pas. Si nous essayons de déterminer la limite en
a du quotient
, où le
numérateur et le
dénominateur tendent soit les deux vers
zéro, soit les deux vers l'
infini, alors nous pouvons dériver le numérateur et le dénominateur et déterminer la limite du quotient des dérivées. Si elle existe, la règle affirme que cette limite sera égale à la limite cherchée.
Énoncé des règles de L'Hôpital Énoncé simple : Dans l'ouvrage de M. de l'Hôpital, la règle qui apparaît est celle communément utilisée dans le cas de deux fonctions dérivables en a et telles que le quotient
soit défini :
Si
f et g
sont deux fonctions dérivables en a
, s'annulant en a
et telles que le quotient soit défini, alors 
. Cependant, la règle de l'Hôpital se généralise à des situations beaucoup moins restrictives:
Première généralisation à des fonctions pour lesquelles
n'existe pas forcément.
Si
f et
g sont deux fonctions dérivables sur ]
a ;
b[ dont la limite en
a est nulle, si g'(x) ne s'annule pas sur ]a ; b[ et si
alors
.
Le résultat est valide que
soit une limite réelle ou infinie.
Seconde généralisation à des fonctions dont la limite en
a est infinie.
Si
f et
g sont deux fonctions dérivables sur ]
a ;
b[ ayant une limite infinie en
a, si g'(x) ne s'annule pas sur ]
a ;
b[ et si
alors
.
Le résultat est valide que
soit une limite réelle ou infinie.
Les mêmes règles existent pour des fonctions définies sur ]
b ;
a[.
Les théorèmes restent valables en remplaçant
a par
.
Sam 27 Nov - 20:52